Mengenal Aritmatika

Materi Uji Aritmatika

Sekali lagi, walaupun mengambil topik mengenai aritmatika, aspek terpenting dari materi ini bukan pada hitung menghitungnya tetapi pada uji kemampuan analitisnya. Aspekaspek analitis dalam persoalan aritmatika dijelaskan pada bagian berikut ini.

1. Mampu Membentuk Model Aritmatika/Matematika serta melakukan deduksi/induksi Model
Dalam problem solving, seringkali diperlukan tahapan pemodelan masalah yang sebagian menggunakan model matematika/aritmatika dan menyederhanakannya sehingga menjadi model yang lebih sederhana dan siap ikomputasikan dalam bentuk algoritma. Model yang tidak tepat berakibat pada kegagalan dalam pemecahan masalah.


Contoh:
Uang Amir lebih banyak dari uang Ali. Jika dijumlahkan uang keduanya lebih dari 50 ribu rupiah, sementara selisih uang Amir dengan uang Ali lebih dari 30 ribu rupiah. Berapakah kemungkinan uang Amir yang paling tepat? Model permasalahan: Uang Amir = x, Uang Ali = y, dan dari deskripsi di atas

1. PersI: x > y
2. PersII: x+y > 50000
3. PersIII: xy > 30000
4. Dari Pers I dan Pers III: menghasilkan PersIV: XY > 30000
5. Dari Pers II dan Pers IV: jika dijumlahkan menghasilkan 2x>80000. Maka, x > 40000
   

2. Memahami Sifat-sifat Bilangan
Untuk sejumlah masalah, sifat-sifat dari bilangan harus dipahami secara logis

Contoh:
Jika n dan p adalah dua bilangan bulat, dan n + p berharga ganjil, manakah dari berikut ini bil ganjil?
(A) n – p + 1
(B) np
(C) n2 + p2 – 1
(D) 3p + 5n
(E) (p – n)(n – p)

A bukan, karena (n+p) adalah ganjil maka dari n dan p salah satu ganjil dan
yang lain genap. Selisih antara n dan p pasti ganjil sehingga jika ditambah 1
menjadi genap.
B bukan karena perkalian antara suatu bilangan genap dengan bilangan apapun
akan menjadi genap.
C bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan genap, tetap
genap, dan ganjil tetap ganjil, kemudian ganjil ditambah genap dan dikurang
ganjil menjadi genap.
D bukan karena pangkat bulat positif berapapun dari bilangan ganjil tetap
bilangan ganjil, dan jumlah dua bilangan ganjil menjadi genap.
E benar, karena perkalian antara dua bilangan ganjil menghasilkan bilangan
ganjil.

3. Mengkaitkan dengan Konteks Masalah
Konteks dari soal perlu diperhatikan dan konteks tersebut kadangkadang hanya tersiratsaja. Yang dimaksud dengan konteks disini adalah pemahaman umum akan sesuatu yang sewajarnya diketahui pula.

Contoh:
jika lonceng berdentang setiap 1 detik, dalam jumlah dentang yang sesuai waktu yang ditunjukkan, maka tepat pada pukul berapa dentang terakhir yang menunjukkan jam 6? Apakah pukul 6:00:06? Salah, seharusnya pukul 6:00:05 karena dentang-dentang tsb pada pukul 6:00:00, pukul 6:00:01, pukul 6:00:02, pukul 6:00:03, pukul 6:00:04 dan pukul 6:00:05!! Konteks disini adalah dentang pertama terjadi pada tepat pukul 6, dan penomoran detik/menit dimulai dari 0, 1, ... dst.

4. Memahami Formula Rekursif
Banyak masalah pemodelan dengan tingkat kesulitan yang tinggi atau pemrogramannya
sendiri memerlukan pemecahan dengan algoritma rekursif. Pemahaman fungsi rekursif
membantu dalam pemahaman memahami bagaimana bekerjanya algoritma rekursif.

Contoh:
Jika didefinisikan f(n) = n f(n–1) untuk setiap n > 0 dan f(0) = 1, maka berapakah f(10)/(f (7) x f(6)) ?
Pahami perilaku fungsi rekursif tsb, sbb,
f(n) = n.f(n–1) = n.(n–1).f(n–2) = n.(n–1).(n–2).f(n–3) = ... = n(n–1)(n–2)(n–3)....2.1 = n!
Sehingga, f(10) = 10! dan f(7) = 7! serta f(6) = 6!. 10!/7! = (10.9.8.7.6.5.4.3.2.1)/(7.6.5.4.3.2.1) = 10.9.8 Dan (10.9.8) /(6.5.4.3.2.1) = 1

5. Eksplorasi dalam Masalah Kombinatorik
Dalam problem solving seringkali masalah yang diberikan bersifat kombinatorik (mendapatkan setiap kemungkinan kombinasi / permutasi jawaban). Untukm memecahkannya terkadang seluruh kemungkinan tersebut harus diperiksa untuk mendapatkan pemecahan yang umum.

Contoh:
Jika diketahui dalam perkalian matriks A (mxn) dengan B (nxp) diperlukan biaya "mnp". Sementara untuk perkalian tiga matriks A.B.C dengan A(mxn), B(nxp) dan C(pxq) ternyata terdapat dua kemungkinan biaya yang bergantung pada urutannya:
Urutan
(A.B).C (yaitu A dikali B dahulu kemudian dikali C), dan urutan
A.(B.C) (yaitu B dikali C dahulu kemudian dikali A).
Urutan (A.B).C memerlukan harga mnp + mpq sementara urutan A.(B.C) memerlukan harga npq + mnq. Kedua harga bisa berbeda sesuai dengan hargaharga m, n, p, q tsb. Pertanyaannya, untuk perkalian empat matriks A.B.C.D dengan A(10x4), B(4x15), C(15x2), dan D(2x20) manakah urutan dengan biaya minimum?
Kemungkinan-kemungkinan urutan adalah (diperoleh dengan permutasi ketiga
tanda perkalian “.”):
urutan
(((A.B).C).D), biaya 10x4x15+10x15x2+10x2x20 = 1300
urutan
((A.B).(C.D)), biaya10x4x15+15x2x20+10x15x20 = 4200
urutan
((A.(B.C)).D), biaya 4x15x2+10x5x2+10x2x20 = 600
urutan
(A.((B.C).D)), biaya 4x15x2+4x2x20+10x4x20 = 1080
urutan
((A.B).(C.D)), biaya 15x2x20+10x4x15+10x15x20 = 4200
urutan
(A.(B.(C.D))), biaya 15x2x20 + 4x15x20+10x4x20 = 4200

6. Berpikir secara “Cerdas”
Jika menghadapi suatu masalah komputasi yang kelihatannya tidak mungkin, pasti ada sesuatu di balik itu!!Dapatkanlah dengan bantuan pemahaman akan sifatsifat operasi aritmatika untuk mendapatkan model matematis yang lebih sederhana.

Contoh 1:
Berapa digit terakhir dari 22003? Apakah anda ingin menghitungnya sendiri (secara manual)? Tentu tidak, pasti ada penyederhanaannya. Dengan mengubah n=1,2,3…dst, perhitungan 2n menghasilkan deret 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, dst. Amati angka terakhir dari setiap bilangan, kita mendapatkan perulangan dari 6 – 2 – 4 – 8 pada n mod 4 = 0, 1, 2, 3. Jadi jika n=2003, diperoleh 2003 mod 4 = 3, yaitu memiliki digit terakhir 8.
Contoh 2:
Ketiga digit awal dari hasil perkalian 22002 x 52005 jika dijumlahkan adalah? Ini juga tidak mungkin dihitung manual. Perhatikan bilangan dasarnya 2 dan 5 yang jika dikalikan menjadi 10. Karena setiap pasang faktor 2 dan 5 menghasilkan 10 berarti hanya menambah 0 di digit terkanan. Ada 2002 pasang faktorfaktor tsb. Sehingga 22002 x 52005 = 53 x 102002= 125 102002. Penjumlahan tiga digit awal 1+2+5=8
Contoh 3:
Hitunglah (80! x 38!) /(77! x 40!). Menggunakan sifat sbb untuk a dan b bulat positif, a > b, maka a!/b! = a.(a -1).(a – 2)…(b + 1).
Maka
(80! x 38!) /(77! x 40!) = (80!/77!) / (40!/38!) = (80x79x78) / (40x39) = (80/40) x (78/39) x 79 = 2 x 2 x 79 = 316
yang dapat dihitung tanpa kalkulator.